\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}
\begin{enumerate}[1)]
    \item{ % 1)
        Primero hacemos el desarrollo en serie de Taylor de los puntos que queremos utilizar:

        \[ u_{i-3} = u_i - 3 h u_i' + \frac{9}{2} h^2 u_i'' - \frac{27}{6} h^3 u_i''' \
                     + \frac{81}{24} h^4 u_i^{(4)} + O(h^5) \]

        \[ u_{i-2} = u_i - 2 h u_i' + \frac{4}{2} h^2 u_i'' - \frac{8}{6} h^3 u_i''' \
                     + \frac{16}{24} h^4 u_i^{(4)} + O(h^5) \]

        \[ u_{i-1} = u_i - h u_i' + \frac{1}{2} h^2 u_i'' - \frac{1}{6} h^3 u_i''' \
                     + \frac{1}{24} h^4 u_i^{(4)} + O(h^5) \]

        \[ u_{i+1} = u_i + h u_i' + \frac{1}{2} h^2 u_i'' + \frac{1}{6} h^3 u_i''' \
                     + \frac{1}{24} h^4 u_i^{(4)} + O(h^5) \]

        Queremos aproximar la segunda derivada mediante la fórmula dada. Si expandemos ésta obtenemos:

        \begin{eqnarray*}
            a u_{i-3} + b u_{i-2} + c u_{i-1} + d u_i + e u_{i+1} = &&(a+b+c+d+e) u_i + h (-3a -2b -c + e) u_i' \\
                                &+& \frac{h^2}{2} (9a + 4b + c + e) u_i'' + \frac{h^3}{6} (-27a -8b-c+e) u_i''' \\ 
                                &+& \frac{h^4}{24} (81a+16b+c+e) u_i^{(4)} + O(h^5)
        \end{eqnarray*}

        Si igualamos este resultado a $\frac{h^2}{2} u_i'' + O(h^5)$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
        algebraicas:

        \[ \left( 
            \begin{array}{rrrrr} 
                1 &  1 &  1 & 1 & 1 \\
               -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\
                9 &  4 &  1 & 0 & 1 \\
              -27 & -8 & -1 & 0 & 1 \\
               81 & 16 &  1 & 0 & 1 \\
            \end{array}
           \right)
           \left(
            \begin{array}{c}
                a \\
                b \\
                c \\
                d \\
                e \\
            \end{array}
           \right)
           =
           \left(
            \begin{array}{c}
                0 \\
                0 \\
                1 \\
                0 \\
                0 \\
            \end{array}
           \right)
        \]

        La solución de este sistema es:

        \[
           \left(
            \begin{array}{c}
                a \\
                b \\
                c \\
                d \\
                e \\
            \end{array}
           \right)
           =
           \left(
            \begin{array}{c}
                -\frac{1}{24} \\
                 \frac{1}{6} \\
                 \frac{1}{4} \\
                -\frac{5}{6} \\
                 \frac{11}{24} \\
            \end{array}
           \right)
        \]

        Reemplazando obtenemos:

        \[ -\frac{1}{24} u_{i-3} + \frac{1}{6} u_{i-2} + \frac{1}{4} u_{i-1} - \frac{5}{6} u_i + \frac{11}{24} u_{i+1} = 
        \frac{h^2}{2}u_i'' + O(h^5) \]

        Que puede reescribirse como:

        \[ \frac{-u_{i-3} + 4 u_{i-2} + 6 u_{i-1} -20 u_i + 11 u_{i+1}}{12 h^2} = u_i'' + O(h^3) \]
    }
    \item{ % 2)
        El problema de conducción de calor en 1D se expresa como:

        \[ \frac{\partial T}{\partial t} + k \Delta T + c (T - T_{amb}) + Q = 0 \qquad 0 < x < L \]

        El término $\frac{\partial T}{\partial t}$ se anula al tratarse del caso estacionario. Considerando
        esto y los valores dados para las constantes, el problema puede reescribirse como:

        \[ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + T = 4 \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 - 1 \qquad 0 < x < 1 \]

        Utilizando el método de diferencias finitas y haciendo las siguientes aproximaciones:

        \[ \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \right)_i 
           \approx
           \frac{T_{i+1} - 2 T_i + T_{i-1}}{h^2} \]

        \[ \left( \frac{\partial T}{\partial x} \right)_i 
           \approx
           \frac{T_{i+1} - T_{i-1}}{2 h}, \]

        donde $h$ es el paso de la malla (uniforme) utilizada, se obtienen los siguientes resultados
        para distintos $N$ (cantidad de segmentos en la malla: $N = \frac{1}{h}$):

        \begin{tabular}{|c|c|c|}
            \hline
            \textbf{N} & \textbf{Error} & \textbf{Proporción mejora} \\
            \hline
             2 & 0.0105 & \\
            \hline
             4 & 0.0022 & 4.6903 \\
            \hline
             8 & 5.1638e-04 & 4.3316 \\
            \hline
            16 & 1.2390e-04 & 4.1678 \\
            \hline
            32 & 3.0328e-05 & 4.0852 \\
            \hline
        \end{tabular}

        El error se obtuvo dividiendo la norma euclídea de la diferencia entre la aproximación y
        la solución exacta por la norma euclídea de la solución exacta:

        \[ \mbox{error} = \frac{\left|\left| x_{aprox} - x_{exacta}\right|\right|_2}{\left|\left| x_{exacta} \right|\right|_2} \]

        En la tabla puede apreciarse cómo la solución es aproximadamente cuatro veces mejor cuando
        se duplica el número de intervalos. \textit{(Supongo que el hecho de que esta proporción vaya 
        disminuyendo se debe a que a mayor número de intervalos hay mayor error numérico.)}

        Para el caso $N = 8$, la gráfica del resultado es:

        \includegraphics[width=\textwidth]{ej2_N_8.png}
    }
    \item{ % 3)
        \begin{enumerate}[a)]
            \item{ % a)
                Utilizando diferencias finitas y las aproximaciones:

                \[ \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \right)_{l, m}
                   \approx
                   \frac{\phi_{l-1,m} - 2 \phi_{l,m} + \phi_{l+1,m}}{dx^2} \]

                \[ \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} \right)_{l, m}
                   \approx
                   \frac{\phi_{l,m-1} - 2 \phi_{l,m} + \phi_{l,m+1}}{dx^2} \]

                se obtiene la siguiente solución:

                \includegraphics[width=\textwidth]{ej3_Dirichlet_0.png}
            }
            \item{ % b)
                El inciso anterior correspondía al caso en que se impone una temperatura
                nula en todos los bordes. Si en cambio se impone una temperatura 
                $\bar{T} = 100$ se obtiene:

                \includegraphics[width=\textwidth]{ej3_Dirichlet_100.png}

                Puede apreciarse que la solución tiene la misma forma que en el inciso
                anterior, excepto porque toda la superficie está aumentada en $100$
                en el eje $\phi$.

                Se pueden combinar los problemas imponiendo, por ejemplo, una temperatura
                de $100$ en el borde inferior y en el izquierdo y una temperatura nula
                en el borde superior y en el derecho:

                \includegraphics[width=\textwidth]{ej3_Dirichlet_0_y_100.png}

                En este caso puede apreciarse claramente que en las esquinas una de las
                condiciones tiene prioridad. Si esto es un problema, una posible solución
                es promediar ambas condiciones (si son del mismo tipo). Haciendo esto
                el resultado obtenido es:

                \includegraphics[width=\textwidth]{ej3_Dirichlet_0_y_100_esquinas_promediadas.png}
            }
            \item{ % c)
                Para tratar con las condiciones de flujo se utilizaron las siguientes aproximaciones:

                \[ \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_{l,m} 
                   \approx
                   \frac{3 \phi_{l,m} - 4 \phi_{l-1,m} + \phi_{l-2,m}}{2 dx} \]

                \[ \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_{l,m} 
                   \approx
                   \frac{-3 \phi_{l,m} + 4 \phi_{l+1,m} - \phi_{l+2,m}}{2 dx} \]

                (Aproximaciones análogas se usan para 
                $\frac{\partial \phi}{\partial y}$).

                El uso de una u otra aproximación depende de si se necesita usar puntos que están
                "adelante" o "atrás" del punto donde se está evaluando la derivada.

                Si ahora se impone una temperatura de $100$ en los bordes superior, izquierdo y
                derecho y un flujo de calor nulo en el contorno inferior, el resultado es:

                \includegraphics[width=\textwidth]{ej3_Neumann_0_Dirichlet_100.png}

                Para este problema, utilizar sólo condiciones de tipo Neumann causa una
                indeterminación que, en el método, se traduce en una matriz singular
                (no invertible). Si se usan sólo condiciones de flujo nulo pero se
                fija la temperatura para un punto que no esté en una esquina, entonces se puede
                obtener un resultado. Fijando la temperatura del punto $(0.5; 0.25)$ en $100$
                el resultado es:

                \includegraphics[width=\textwidth]{ej3_Neumann_0_Punto_fijado_100.png}

                \textit{(Si se fija la temperatura de un punto que esté en una esquina, se sigue
                obteniendo una matriz singular, no sé por qué.)}
            }
        \end{enumerate}
    }
    \item{ % 4)

    }
\end{enumerate}
\end{document}
